Analysis Beispiele

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x - 6$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x - 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Schritt 12.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Schritt 12.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Schritt 12.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Schritt 12.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 6$ .

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$