Analysis Beispiele

$\int_{1}^{8} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Schritt 7.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $8$ und $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 7.1.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.10

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.11

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.3.13.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.13.2

Subtrahiere $3$ von $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.14

Um $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.1.3.15

Kombiniere $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Schritt 7.1.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Schritt 7.1.3.17

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

Schritt 7.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

Schritt 7.3.3

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Dezimalform:

$9.17055845 \dots$

Schritt 9