Analysis Beispiele

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Stelle $1$ und $x^{2}$ um.

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $5 x^{2} + 2$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{2} + 0 + 5$

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 10.2

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 10.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$