Analysis Beispiele

$- 3 y + x y = x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 3 y + x y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 y + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 3 y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 y' + x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 y' + x y' + y$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x y' + y - 3 y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y - 3 y' = 3 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 3 y' = 3 x^{2} - y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - 3 y' = 3 x^{2} - y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' x + y' \cdot - 3 = 3 x^{2} - y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (x - 3) = 3 x^{2} - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 3) = 3 x^{2} - y$ durch $x - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 3) = 3 x^{2} - y$ durch $x - 3$ .

$\frac{y' (x - 3)}{x - 3} = \frac{3 x^{2}}{x - 3} + \frac{- y}{x - 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 3)}{x - 3} = \frac{3 x^{2}}{x - 3} + \frac{- y}{x - 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x - 3} + \frac{- y}{x - 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 x^{2}}{x - 3} - \frac{y}{x - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 3}$