Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = \frac{2}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \frac{2}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.6.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 2.1.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$