Analysis Beispiele

$- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$

Schritt 1

Schreibe $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ als Funktion.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 6}{6}$ und $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2.4

Dividiere $- x^{5}$ durch $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- x^{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- \frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{3} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{5}{3} (4 x^{3})$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - 4 (\frac{5}{3}) x^{3}$

Schritt 2.1.4.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{3}$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3}$

Schritt 2.1.4.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 20}{3} x^{3}$

Schritt 2.1.4.6

Kombiniere $\frac{- 20}{3}$ und $x^{3}$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 20 x^{3}}{3}$

Schritt 2.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - x^{5} - 5 x^{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $- \frac{20}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Schritt 2.2.4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{20}{3}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Schritt 2.2.4.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $20$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Schritt 2.2.4.6

Kombiniere $\frac{- 60}{3}$ und $x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Schritt 2.2.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $3$ .

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Schritt 2.2.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 60 x^{2}$ heraus.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Schritt 2.2.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Schritt 2.2.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Schritt 2.2.4.7.2.4

Dividiere $- 20 x^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$- 5 x^{2} x^{2} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 20 x^{3}$ heraus.

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 20 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 20 x^{2}$ heraus.

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} \cdot 4 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{2} (x^{2}) - 5 x^{2} (4 x)$ heraus.

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} \cdot 4 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} (4)$ heraus.

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 5 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$- 5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.6

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{3}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{6} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$f (- 2) = - \frac{1}{6} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$f (- 2) = \frac{- 1}{6} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = \frac{- 1}{3} \cdot 32 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.6

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 32$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.8

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot 16$

Schritt 4.3.2.1.9

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot 16$ .

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Schritt 4.3.2.1.9.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - 16 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.3.2.1.9.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{5}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 + \frac{- 16 \cdot 5}{3}$

Schritt 4.3.2.1.9.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 + \frac{- 80}{3}$

Schritt 4.3.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{80}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = 32 + \frac{- 32 - 80}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Subtrahiere $80$ von $- 32$ .

$f (- 2) = 32 + \frac{- 112}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = 32 - \frac{112}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Um $32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = 32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{112}{3}$

Schritt 4.3.2.4

Kombiniere $32$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{112}{3}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{32 \cdot 3 - 112}{3}$

Schritt 4.3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.6.1

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{96 - 112}{3}$

Schritt 4.3.2.6.2

Subtrahiere $112$ von $96$ .

$f (- 2) = \frac{- 16}{3}$

Schritt 4.3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{16}{3}$

Schritt 4.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{3}$ .

$- \frac{16}{3}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - \frac{16}{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - \frac{16}{3})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 2, - \frac{16}{3})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - 5 {(- 2.1)}^{4} - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $4$ .

$f'' (- 2.1) = - 5 \cdot 19.4481 - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 2.1$ mit $3$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 - 20 \cdot - 9.261 - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 20 \cdot 4.41$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 20$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 88.2$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 97.2405$ und $185.22$ .

$f'' (- 2.1) = 87.9795 - 88.2$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $88.2$ von $87.9795$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.2205$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.2205$ .

$- 0.2205$

Schritt 6.3

Bei $- 2.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.2205$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 2)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 5 {(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (- 1) = - 5 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = - 5 - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- 1) = - 5 - 20 \cdot - 1 - 20 {(- 1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20 {(- 1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 5$ und $20$ .

$f'' (- 1) = 15 - 20$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $15$ .

$f'' (- 1) = - 5$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 7.3

Bei $- 1$ , die zweite Ableitung ist $- 5$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 2, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 20 \cdot 0.001 - 20 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 20 {(0.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 20 \cdot 0.01$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $- 20$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 0.2$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $0.02$ von $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0205 - 0.2$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $0.2$ von $- 0.0205$ .

$f'' (0.1) = - 0.2205$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.2205$ .

$- 0.2205$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.2205$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte