Analysis Beispiele

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Schreibe $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ als Funktion.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 6

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 6.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Schritt 7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Schritt 9

Schreibe $\tan^{2} (u)$ in $- 1 + \sec^{2} (u)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 12

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$