Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.3.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Schritt 3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 3.9.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 4} 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 4} 1 (2 \sqrt{x})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} 2 \sqrt{x}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 6.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$2 \sqrt{4}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2^{2}}$

Schritt 8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 \cdot 2$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$