Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt[3]{\ln (x)}}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{3}{4} {\ln (x)}^{\frac{4}{3}} + C$