Analysis Beispiele

$π \int_{0}^{1} (9 - 6 x + x^{2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$π \int_{0}^{1} 9 - 6 x + x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$π (\int_{0}^{1} 9 d x + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$π (9 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $9 x]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$π (9 x + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$π (9 x + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $9 x + \frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$π (9 + \frac{1^{3}}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π (9 + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.3

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.4

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π (\frac{9 \cdot 3 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$π (\frac{27 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.6.2

Addiere $27$ und $1$ .

$π (\frac{28}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + 0) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{28}{3} + 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.12

Addiere $\frac{28}{3}$ und $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 8.2.3.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Schritt 8.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.2.3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Schritt 8.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Schritt 8.2.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 0))$

Schritt 8.2.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} + 0))$

Schritt 8.2.3.17

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2}))$

Schritt 8.2.3.18

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{2}$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 6}{2})$

Schritt 8.2.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 8.2.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2})$

Schritt 8.2.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)})$

Schritt 8.2.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3}{1})$

Schritt 8.2.3.19.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$π (\frac{28}{3} - 3)$

Schritt 8.2.3.20

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{28}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.21

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 8.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π \frac{28 - 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 8.2.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.23.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$π \frac{28 - 9}{3}$

Schritt 8.2.3.23.2

Subtrahiere $9$ von $28$ .

$π \frac{19}{3}$

Schritt 8.2.3.24

Kombiniere $π$ und $\frac{19}{3}$ .

$\frac{π \cdot 19}{3}$

Schritt 8.2.3.25

Bringe $19$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{19 π}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{19 π}{3}$

Dezimalform:

$19.89675347 \dots$

Schritt 10