Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{14}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$14 \int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $25$ aus $- 25 \sin^{2} (t)$ heraus.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.5

Schreibe $25 \cos^{2} (t)$ als ${(5 \cos (t))}^{2}$ um.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5 \cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $5 \cos (t)$ heraus.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5} d t$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$14 (\frac{1}{5} t]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $t$ .

$14 (\frac{t}{5}]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{t}{5}$ bei $0$ und $- \frac{π}{6}$ .

$14 ((\frac{0}{5}) - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$14 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$14 (\frac{0}{1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Schritt 5.2.2.1.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$14 (0 - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe $\frac{- \frac{π}{6}}{5}$ als ein Produkt um.

$14 (0 - (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}))$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$14 (0 - - \frac{π}{5 \cdot 6})$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$14 (0 - - \frac{π}{30})$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$14 (0 + 1 \frac{π}{30})$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{π}{30}$ mit $1$ .

$14 (0 + \frac{π}{30})$

Schritt 5.2.2.7

Addiere $0$ und $\frac{π}{30}$ .

$14 \frac{π}{30}$

Schritt 5.2.2.8

Kombiniere $14$ und $\frac{π}{30}$ .

$\frac{14 π}{30}$

Schritt 5.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $30$ .

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Schritt 5.2.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $14 π$ heraus.

$\frac{2 (7 π)}{30}$

Schritt 5.2.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 (7 π)}{2 (15)}$

Schritt 5.2.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (7 π)}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.2.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 π}{15}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7 π}{15}$

Dezimalform:

$1.46607657 \dots$

Schritt 7