Analysis Beispiele

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Schritt 4.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ bei $2$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Schritt 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ungefähr $1.15470053$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Schritt 5.2.4

Der genau Wert von $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.3

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.7.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{π}{6}$

Schritt 5.8

Kombiniere $4$ und $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Schritt 5.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 5.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Schritt 5.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Schritt 5.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 π}{3}$

Dezimalform:

$2.09439510 \dots$

Schritt 7