Analysis Beispiele

$302.2 (\frac{103^{x}}{100^{x}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $302.2$ und $\frac{103^{x}}{100^{x}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}]$

Schritt 1.2

Da $302.2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}$ nach $x$ gleich $302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$ .

$302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 103^{x}$ und $g (x) = 100^{x}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{{(100^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(100^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $103$ .

$302.2 \frac{100^{x} (103^{x} \ln (103)) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Schreibe $103^{x} \cdot 100^{x}$ als ${(103 \cdot 100)}^{x}$ um.

$302.2 \frac{{(103 \cdot 100)}^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $103$ mit $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} (100^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Schreibe $100^{x} \cdot 103^{x}$ als ${(100 \cdot 103)}^{x}$ um.

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - {(100 \cdot 103)}^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $100$ mit $103$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Schritt 7.3

Kombiniere $302.2$ und $\frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$ .

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103)) + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $302.2 (10300^{x} \ln (103))$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Stelle $\ln (103)$ und $302.2$ um.

$\frac{302.2 \cdot \ln (103) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.1.2

Vereinfache $302.2 \cdot \ln (103)$ , indem du $302.2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Multipliziere $302.2 (- 10300^{x} \ln (100))$ .

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Schritt 8.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 (10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2.2

Stelle $\ln (100)$ und $- 302.2$ um.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 \cdot \ln (100) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2.3

Vereinfache $- 302.2 \cdot \ln (100)$ , indem du $302.2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Schritt 8.2.2

Stelle die Faktoren in $\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}$ um.

$\frac{10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $10300^{x}$ aus $10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ heraus.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $10300^{x}$ aus $10300^{x} \ln (103^{302.2})$ heraus.

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Faktorisiere $10300^{x}$ aus $- 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ heraus.

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.3

Faktorisiere $10300^{x}$ aus $10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))$ heraus.

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2}) - \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Schritt 8.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{10300^{x} \ln (\frac{103^{302.2}}{100^{302.2}})}{100^{2 x}}$