Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x}}{x + 4 x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} - e^{x}}{lim_{x \to 1} x + 4 x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x + 4 x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x + 4 x^{2}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4 x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x + 4 lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x + 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- e^{1}}{lim_{x \to 1} x + 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- e^{1}}{1 + 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- e^{1}}{1 + 4 \cdot 1^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{- e}{1 + 4 \cdot 1^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- e}{1 + 4 \cdot 1}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{- e}{1 + 4}$

Schritt 8.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{- e}{5}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e}{5}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{e}{5}$

Dezimalform:

$- 0.54365636 \dots$