Analysis Beispiele

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Dann ist $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.1.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Addiere $0$ und $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 2.1.4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.1.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 6}$ nach $u_{2}$ gleich $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere ${u_{2}}^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Schritt 4.1.2

Bringe ${u_{2}}^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 {u_{2}}^{5}$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$