Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ und $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 20 x^{3} + 24 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ und $0$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 5.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.4

Setze die Werte $a = - 5$ , $b = 12$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.1.3

Subtrahiere $40$ von $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.1.4

Schreibe $104$ als $2^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 5.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $104$ heraus.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.1.3

Subtrahiere $40$ von $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $104$ als $2^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 5.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $104$ heraus.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Schritt 5.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.1.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.1.3

Subtrahiere $40$ von $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.1.4

Schreibe $104$ als $2^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 5.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $104$ heraus.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Schritt 5.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Schritt 5.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Schritt 5.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 2.2198039$

Schritt 5.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.11.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

Schritt 5.11.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.11.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2.2198039}$

Schritt 5.11.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2.2198039}$

Schritt 5.11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

Schritt 5.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Schritt 5.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 0.18019609$

Schritt 5.13.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

Schritt 5.13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.18019609}$

Schritt 5.13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.18019609}$

Schritt 5.13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Schritt 5.14

Die Lösung von $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ ist $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ .

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{2.2198039}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Schreibe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ als $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ um.

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Schritt 9.2

Potenziere $2.2198039$ mit $3$ .

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

Schritt 10

$x = \sqrt{2.2198039}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{2.2198039}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{2.2198039}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2.2198039}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ als $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ um.

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $2.2198039$ mit $5$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 11.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ als $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ um.

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $2.2198039$ mit $3$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{2.2198039}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2.2198039}$ an.

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Schritt 13.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Schritt 13.3

Schreibe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ als $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ um.

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Schritt 13.4

Potenziere $2.2198039$ mit $3$ .

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

Schritt 14

$x = - \sqrt{2.2198039}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{2.2198039}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{2.2198039}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2.2198039}$ an.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ als $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.6

Potenziere $2.2198039$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.7

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2.2198039}$ an.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.9

Schreibe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ als $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.10

Potenziere $2.2198039$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Schritt 15.2.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{0.18019609}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Schritt 17

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1

Schreibe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ als $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ um.

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Schritt 17.2

Potenziere $0.18019609$ mit $3$ .

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

Schritt 18

$x = \sqrt{0.18019609}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{0.18019609}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{0.18019609}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{0.18019609}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ als $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ um.

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 19.2.1.2

Potenziere $0.18019609$ mit $5$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 19.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ als $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ um.

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 19.2.1.4

Potenziere $0.18019609$ mit $3$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 19.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{0.18019609}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Schritt 21

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.18019609}$ an.

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Schritt 21.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Schritt 21.3

Schreibe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ als $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ um.

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Schritt 21.4

Potenziere $0.18019609$ mit $3$ .

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Schritt 21.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Schritt 21.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

Schritt 22

$x = - \sqrt{0.18019609}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{0.18019609}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 23

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{0.18019609}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.18019609}$ an.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ als $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.6

Potenziere $0.18019609$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.7

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.18019609}$ an.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.9

Schreibe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ als $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.10

Potenziere $0.18019609$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Schritt 23.2.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 23.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Schritt 24

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ .

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ ist ein lokales Maximum

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ ist ein lokales Minimum

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 25