Analysis Beispiele

$\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = x + 3$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 7.2

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 11

Kombiniere $\sin^{2} (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sin^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{2})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2}$ neu zu schreiben.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 16

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 17

Wende die Konstantenregel an.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 18

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 19

Sei $u_{3} = 2 u_{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 19.1

Es sei $u_{3} = 2 u_{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 19.1.1

Differenziere $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Schritt 19.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Schritt 19.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 19.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 19.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Schritt 20

Kombiniere $\cos (u_{3})$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 21

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Schritt 22

Das Integral von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sin (u_{3})$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Schritt 23

Vereinfache.

$4 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 24

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 24.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 24.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 24.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u_{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{2})) + C$

Schritt 24.4

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Schritt 25

Vereinfache.

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Schritt 25.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 25.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Schritt 25.1.2

Kombiniere $\sin (4 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (x)) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.3.5

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2} x - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.4

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 25.5

Multipliziere $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

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Schritt 25.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 25.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 25.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 25.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Schritt 25.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Schritt 26

Stelle die Terme um.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$

Schritt 27

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$