Analysis Beispiele

$\int x^{2} {(2 x + 5)}^{2} d x$

Schritt 1

Multipliziere $x^{2} {(2 x + 5)}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 x + 5)}^{2}$ als $(2 x + 5) (2 x + 5)$ um.

$\int x^{2} ((2 x + 5) (2 x + 5)) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x) + 5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x) + 5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.8

Bewege $x$ .

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x \cdot x) + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.9

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x) x + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.10

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} (2 \cdot 2) x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.11

Bewege $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot 5) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.12

Bewege $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot 5 x) + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.13

Versetze die Klammern.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot 5) x + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.14

Bewege $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + x^{2} (5 (2 x)) + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.15

Versetze die Klammern.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 2) x + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.16

Bewege $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 5) d x$

Schritt 1.17

Bewege $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.18

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 (x^{2} x^{1}) x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{2 + 1} x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.21

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 4 x^{3} x + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.22

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 (x^{3} x^{1}) + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{3 + 1} + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.24

Addiere $3$ und $1$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 5 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.25

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\int 4 x^{4} + 10 x^{2} x + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.26

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 x^{4} + 10 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.27

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{4} + 10 x^{2 + 1} + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.28

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 5 \cdot 2 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.29

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} x + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.30

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2 + 1} + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.32

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{3} + 5 \cdot 5 x^{2} d x$

Schritt 1.33

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\int 4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{3} + 25 x^{2} d x$

Schritt 1.34

Addiere $10 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$\int 4 x^{4} + 20 x^{3} + 25 x^{2} d x$

$\int 4 x^{4} + 20 x^{3} + 25 x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{4} d x + \int 20 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{4} d x + \int 20 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 20 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

Schritt 5

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 \int x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 25 x^{2} d x$

Schritt 7

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $25$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 \int x^{2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + 25 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + 25 \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $25$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25 x^{3}}{3} + C$

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25 x^{3}}{3} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{5} x^{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{3} x^{3} + C$

$\frac{4}{5} x^{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{3} x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$