Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ um.

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 6$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 2.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Schritt 2.5.4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Schritt 2.5.4.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{1}{27}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{27}$ an.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{27}$ an.

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.5

Potenziere $27$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{729}$ mit $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.7

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.9.1

Schreibe $729$ als $9^{3}$ um.

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.9.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.10

Multipliziere $2 (- \frac{1}{27})$ .

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Schritt 4.1.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Schritt 4.1.2.1.10.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Schritt 4.1.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Schritt 4.1.2.2

Um $\frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2}{27}$

Schritt 4.1.2.5

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{27}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Schritt 4.2.2.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0 + 2 (0)$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Schritt 5