Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{3}} - 5 \tan (2 x) + \cos (x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$- lim_{x \to \frac{π}{3}} 5 \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 lim_{x \to \frac{π}{3}} \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$- 5 \tan (lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$- 5 \tan (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 7.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 5 (- \tan (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 7.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$- 5 (- \sqrt{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$5 \sqrt{3} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 7.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$9.16025403 \dots$