Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{4 (x^{2} - 1)}{x - 1}$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$4 \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$4 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$4 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$4 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0}$

Schritt 2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$4 lim_{x \to 1} 2 x$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \cdot 2 lim_{x \to 1} x$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$4 \cdot 2 \cdot 1$

Schritt 5

Multipliziere $4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 1$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$