Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x^{2} - 9 x - 10}{4 x^{4} - 3 x^{2} + 4 x + 7}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x \cdot x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 10.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 13

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Schritt 14

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Schritt 15

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.1.5

Addiere $0 + 0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.1.6

Addiere $0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.1.7

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 16.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 0}$

Schritt 16.2.4

Addiere $4 + 0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0}$

Schritt 16.2.5

Addiere $4 + 0$ und $0$ .

$\frac{0}{4 + 0}$

Schritt 16.2.6

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 16.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$