Analysis Beispiele

$\frac{x}{2 x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{2 x - 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{2 x - 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{2 x - 1} d x$

Schritt 4

Dividiere $x$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Schritt 4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Schritt 4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 8

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 8.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 8.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{2 x - 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$