Analysis Beispiele

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

Schritt 1

Multipliziere ${(4 - x^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(4 - x^{2})}^{2}$ als $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ um.

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Schritt 1.5

Bewege $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Schritt 1.6

Bewege $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Schritt 1.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Schritt 1.13

Addiere $2$ und $2$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

Schritt 1.14

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

Schritt 1.15

Stelle $- 8 x^{2}$ und $x^{4}$ um.

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

Schritt 1.16

Bewege $16$ .

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Schritt 5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ und $16 x]_{0}^{2}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ bei $2$ und $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3

Um $32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4

Kombiniere $32$ und $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.6.1

Mutltipliziere $32$ mit $5$ .

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.6.2

Addiere $32$ und $160$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 9.2.3.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.9

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.12

Addiere $\frac{192}{5}$ und $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 9.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.15.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 9.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

Schritt 9.2.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

Schritt 9.2.3.17

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

Schritt 9.2.3.18

Kombiniere $- 8$ und $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

Schritt 9.2.3.19

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

Schritt 9.2.3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

Schritt 9.2.3.21

Um $\frac{192}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

Schritt 9.2.3.22

Um $- \frac{64}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 9.2.3.23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.2.3.23.1

Mutltipliziere $\frac{192}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 9.2.3.23.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 9.2.3.23.3

Mutltipliziere $\frac{64}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Schritt 9.2.3.23.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

Schritt 9.2.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

Schritt 9.2.3.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.25.1

Mutltipliziere $192$ mit $3$ .

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

Schritt 9.2.3.25.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $5$ .

$π \frac{576 - 320}{15}$

Schritt 9.2.3.25.3

Subtrahiere $320$ von $576$ .

$π \frac{256}{15}$

Schritt 9.2.3.26

Kombiniere $π$ und $\frac{256}{15}$ .

$\frac{π \cdot 256}{15}$

Schritt 9.2.3.27

Bringe $256$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{256 π}{15}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{256 π}{15}$

Dezimalform:

$53.61651462 \dots$

Schritt 11