Analysis Beispiele

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Schritt 4

Multipliziere ${(1 + \sin (x))}^{2}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ als $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ um.

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.5

Stelle $\sin (x)$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Schritt 4.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 4.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Schritt 4.13

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 9

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 14

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 14.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 15

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 17

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 18

Vereinfache.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 19

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 20

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 20.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 20.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 20.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Schritt 21

Stelle die Terme um.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Schritt 22

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$