Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - 3$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - 3 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - 3 d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - 3 d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - 3 d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - 3 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 x + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{- 1}{x^{4}} - 3 x + C$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{4}} - 3 x + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - 3$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} - 3 x + C$