Analysis Beispiele

$\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Schritt 2.1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 24 x + 48$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $24 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (8 x)$ heraus.

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ heraus.

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere ${(x + 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $144$ von $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 36$ und $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 4)$ konvex, weil $f'' (- 6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $48$ .

$f'' (0) = 48$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 4, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konvex im Intervall $(- 4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8