Analysis Beispiele

$\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x - 6$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x - 6$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x - 6$ ein.

$u_{lower} = 0 - 6$

Schritt 1.3

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x - 6$ ein.

$u_{upper} = 12 - 6$

Schritt 1.5

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{36 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 6 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $6 \sin (t)$ an.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $36$ aus $- 36 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Schreibe $36 \cos^{2} (t)$ als ${(6 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Da $36$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $36$ aus dem Integral.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - π$

Schritt 10.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 10.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 10.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Schritt 10.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Schritt 15.2

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $π$ und $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.3.2

Addiere $π$ und $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.3.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 16.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Schritt 16.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Schritt 16.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Schritt 16.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 16.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Schritt 16.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$18 (π + 0)$

Schritt 17

Addiere $π$ und $0$ .

$18 π$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$18 π$

Dezimalform:

$56.54866776 \dots$

Schritt 19