Analysis Beispiele

$lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^{2}}{\sqrt{12 - x^{2}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - x^{2}}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{3}$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\sqrt{3}$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\sqrt{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{3}$ für $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{3}$ für $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{\sqrt{12 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 8.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 8.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 8.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{1}}}$

Schritt 8.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 1 \cdot 3}}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3}}$

Schritt 8.2.3

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$\frac{3}{\sqrt{9}}$

Schritt 8.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 8.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{3}$

Schritt 8.3

Dividiere $3$ durch $3$ .

$1$