Analysis Beispiele

$y = \frac{\tan (2 x)}{1 - \cot (2 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \tan (2 x)$ und $g (x) = 1 - \cot (2 x)$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cot (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Multipliziere.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + 1 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cot (2 x))) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \tan (2 x) \csc^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 \sec^{2} (2 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$