Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{- 3 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.6.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \cos (5 x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Addiere $1 - 5 \sin (5 x)$ und $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $1 - 5 \sin (5 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} 1 - 5 \sin (5 x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 3} (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 3} (1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (0))$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 0)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 + 0)$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$