Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.6.2

Addiere $4$ und $6$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.2.6.3

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 2}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 1 \cdot 4} - 2}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 4} - 2}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 2}$

Schritt 1.1.3.7.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 2}$

Schritt 1.1.3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{4 x - 4} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - 4}$ als ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 4$ .

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Schritt 1.3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.13

Addiere $4$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.15

Kombiniere $\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.16

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4 \cdot {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.17

Bringe ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.18

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.8.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8.19.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Schritt 1.4

Schreibe ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{4 x - 4}$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} + \frac{- \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Schritt 1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 - \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Schritt 2

Da die Funktion von links gegen $\infty$ geht und von rechts gegen $- \infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$