Analysis Beispiele

$\int (10 x^{3} + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 10 x^{3} + \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 10 x^{3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$10 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{2} x^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$