Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (a x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = a x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\cos (a x) a$

Schritt 1.2.3.2

Stelle die Faktoren von $\cos (a x) a$ um.

$f' (x) = a \cos (a x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a \cos (a x)$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = a x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 2.3

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.4

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.5

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Schritt 2.9.2

Stelle die Faktoren von $a^{2} (- \sin (a x))$ um.

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a^{2} \sin (a x)$ nach $x$ gleich $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = a x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 3.3

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\cos (a x)$ mit $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- a^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a^{3} \cos (a x)$ nach $x$ gleich $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = a x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $a^{3}$ mit $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Schritt 4.3.3

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.4

Multipliziere $a^{3}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{3}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\sin (a x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$