Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{3 \cdot (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.8.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{3} x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 (x^{2} x^{3})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{2 + 3}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $2$ und $3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $3$ und $\frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((3 (2 x^{3}) + 3 \cdot - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.4.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (3 (2 (x^{2} x^{3}))) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (3 (2 x^{2 + 3})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{5})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 (6 x^{5}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}$ .

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Schritt 3.6.4.2.1

Subtrahiere $18 x^{5}$ von $18 x^{5}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 0}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4.2.2

Addiere $- 9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$