Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 1 - 1$

Schritt 1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = 3 - 1$

Schritt 1.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{\frac{4}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{0}^{2} {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{- 4}{3}} d u$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{0}^{2} u^{- \frac{4}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{4}{3}}$ nach $u$ gleich $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 3 u^{- \frac{1}{3}}]_{0}^{2}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ bei $2$ und $0$ .

$(- 3 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}) + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 4.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{1}}$

Schritt 4.2.8

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Schritt 4.2.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Schritt 4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Schritt 5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert