Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Schritt 3

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 4$ ein.

$u_{lower} = 0 + 4$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $4$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 4$ ein.

$u_{upper} = t + 4$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $u^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Schritt 6.2

Bringe $u^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- \frac{1}{3 u^{3}}$ bei $t + 4$ und $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Schritt 8.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Schritt 8.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Schritt 8.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.3.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{192}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Schritt 8.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Schritt 8.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{192}$

Dezimalform:

$0.026041\overline{6}$