Analysis Beispiele

$0 = x y + y^{3} - 5 - x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3} - 5 - x^{2})$

Schritt 2

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y^{3} - 5 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - (2 x)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - 2 x$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $x y' + y + 3 y^{2} y'$ und $0$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' - 2 x$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y = 0$ um.

$x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = 2 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 3 y^{2} y' = 2 x - y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 3 y^{2} y' = 2 x - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (x) + y' (3 y^{2}) = 2 x - y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (3 y^{2})$ heraus.

$y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$ durch $x + 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$ durch $x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2})}{x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 3 y^{2})}{x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3 y^{2}}$