Analysis Beispiele

$0 = - 2 y^{2} + x^{2} + x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{2} + x)$

Schritt 2

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 y^{2} + x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 y y' + 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = - 4 y y' + 2 x + 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$ um.

$- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y y' + 1 = - 2 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y y' = - 2 x - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y y' = - 2 x - 1$ durch $- 4 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y y' = - 2 x - 1$ durch $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 4$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$