Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} [(2 - x^{2}) - (x^{2})] d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{1} (2 - x^{2}) - (x^{2}) d x$

Schritt 2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 2 - 2 x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} 2 d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$2 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$2 x]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $2 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 1 - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 2 \cdot - 1 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 + 2 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Schritt 7.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 - 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$4 - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 - 2 \frac{1 + 1}{3}$

Schritt 7.2.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$4 - 2 (\frac{2}{3})$

Schritt 7.2.3.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$4 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

Schritt 7.2.3.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 + \frac{- 4}{3}$

Schritt 7.2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 - \frac{4}{3}$

Schritt 7.2.3.14

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 7.2.3.15

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 7.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.17.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 - 4}{3}$

Schritt 7.2.3.17.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{3}$

Dezimalform:

$2.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{3}$

Schritt 9