Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2.2.2

Entferne die Klammern.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ mit $x^{2} + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ mit $x^{2} + 1$ .

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

Schritt 1.2.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$x^{4} + 0 = 4$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$x^{4} = 4$

Schritt 1.2.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{4}$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Schritt 1.2.4.3.2

Schreibe $\sqrt[4]{2^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ um.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.2.4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Setze $\sqrt{2}$ für $x$ in $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{3}{2 + 1}$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{3}{3}$

Schritt 1.3.2.2.2

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y = 1$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

Schritt 3.3

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 3.5.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

Schritt 3.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Schritt 3.6

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7.2

Addiere $- x^{4}$ und $0$ .

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7.6

Stelle $- {(x^{2})}^{2}$ und $2^{2}$ um.

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x^{2}$ .

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Stelle $x^{2}$ und $2$ um.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.11.2

Stelle $x^{2}$ und $- 1$ um.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.11.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.12

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.14

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.15

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.16.1

Subtrahiere $x^{4}$ von $0$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.16.2

Stelle $4$ und $- x^{4}$ um.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.17

Dividiere $- x^{4} + 4$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.17.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 3.17.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 3.17.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 3.17.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 3.17.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 3.17.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 3.17.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 3.17.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Schritt 3.17.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Schritt 3.17.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

Schritt 3.17.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.18

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.19

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.20

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.21

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.22

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.23

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.24

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.24.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.24.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 3.25

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Schritt 3.26

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.26.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.26.1.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $\sqrt{2}$ und $- \sqrt{2}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Schritt 3.26.1.2

Berechne $x$ bei $\sqrt{2}$ und $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Schritt 3.26.1.3

Berechne $\arctan (x)$ bei $\sqrt{2}$ und $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.26.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2}$ heraus.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.4

Wende die Produktregel auf $- (\sqrt{2})$ an.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{8}}{3}$ mit $1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.12

Addiere $\sqrt{8}$ und $\sqrt{8}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.13

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Schritt 3.26.1.4.14

Um $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.1.4.15

Kombiniere $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.1.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.1.4.17

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.2

Vereinfache.

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Schritt 3.26.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.26.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3

Vereinfache.

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Schritt 3.26.3.1

Berechne $\arctan (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.3

Berechne $\arctan (\sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.4

Addiere $0.95531661$ und $0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1.91063323$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.6

Addiere $- 4 \sqrt{2}$ und $17.19569912$ .

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.7

Dividiere $11.53884487$ durch $3$ .

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.26.3.8

Addiere $3.84628162$ und $2 \sqrt{2}$ .

$6.67470875$

Schritt 4