Analysis Beispiele

$y = \cos (5 x^{2} - x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (5 x^{2} - x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x^{2} - x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} - x$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$