Analysis Beispiele

$\frac{2}{x^{3}} + \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2}{x^{3}} + \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + \cos (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + \cos (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \cos (x) d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \cos (x) d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \cos (x) d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \cos (x) d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int \cos (x) d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \cos (x) d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \cos (x) d x$

Schritt 8.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \cos (x) d x$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \sin (x) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{- 1}{x^{2}} + \sin (x) + C$

Schritt 10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} + \sin (x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + \cos (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \sin (x) + C$