Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (2 x + 6)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x + 6$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.4

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.10

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Schritt 3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

Schritt 3.15

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Dividiere $6 \cos (2 x + 6)$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$6 \cos (- 6 + 6)$

Schritt 6.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$6 \cos (0)$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$