Analysis Beispiele

$- x - 4 x^{2} = y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 1 - 4 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 1 - 8 x$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 8 x - 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 8 x - 1 = 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 y y' = - 8 x - 1$ um.

$2 y y' = - 8 x - 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 8 x - 1$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 8 x - 1$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y)} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 4 x}{y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x}{y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x}{y} - \frac{1}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} - \frac{1}{2 y}$