Analysis Beispiele

$\frac{x + 2}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + 2}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + 2}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x + 2}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{x}{x} + \frac{2}{x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$x + 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x + 2}{x}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) + C$