Analysis Beispiele

$5 y^{3} - x^{3} = x^{2} y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y^{3} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$15 y^{2} y' - (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$15 y^{2} y' - 3 x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 15 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 3.4

Stelle um.

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Schritt 3.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} + 15 y^{2} y' = x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} + 15 y^{2} y' - x^{2} y' = 2 x y$

Schritt 5.2

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$15 y^{2} y' - x^{2} y' = 2 x y + 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $15 y^{2} y' - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $15 y^{2} y'$ heraus.

$y' (15 y^{2}) - x^{2} y' = 2 x y + 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$y' (15 y^{2}) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (15 y^{2}) + y' (- x^{2})$ heraus.

$y' (15 y^{2} - x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (15 y^{2} - x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$ durch $15 y^{2} - x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (15 y^{2} - x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$ durch $15 y^{2} - x^{2}$ .

$\frac{y' (15 y^{2} - x^{2})}{15 y^{2} - x^{2}} = \frac{2 x y}{15 y^{2} - x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15 y^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (15 y^{2} - x^{2})}{15 y^{2} - x^{2}} = \frac{2 x y}{15 y^{2} - x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{15 y^{2} - x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y + 3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) + 3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) + x (3 x)}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x (3 x)$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y + 3 x)}{15 y^{2} - x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + 3 x)}{15 y^{2} - x^{2}}$