Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$x^{\frac{1}{2}} - - x^{- 1} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $x^{- 1}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} + C$