Analysis Beispiele

$\frac{x}{\ln (x)}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $\ln^{2} (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.6.1

Kombinieren.

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.9

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.10.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{x}$ und $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.10.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.5.2

Dividiere $2 \ln (x)$ durch $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.10.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.11.2.2

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.11.2.3

Multipliziere $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

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Schritt 2.11.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.11.2.3.2

Mutltipliziere $\ln (x^{2})$ mit $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2.11.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$