Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{4} x^{- 2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{- 6}{4}$ und $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.6

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 1.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3.5.2.4

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2 x^{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 2.4.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

Schritt 2.4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

Schritt 2.4.11

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x^{- 4}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

Schritt 2.4.12

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $\frac{9}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{2 x^{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 3.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 3.4.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 3.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 3.4.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Schritt 3.4.10

Kombiniere $\frac{- 36}{2}$ und $x^{- 5}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Schritt 3.4.11

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Schritt 3.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 3.4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Schritt 3.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Schritt 3.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Schritt 3.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Schritt 3.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$